Добавлял таксономию программно, через register_taxonomy. Сразу не заметил, что ссылки используют общий префикс, решил исправить. Оказалось, что это делается просто, но есть одна маааленькая деталь, которую нужно знать.

Убирается префикс путем выставления параметра rewrite with_front в false.

'rewrite' => [
    'slug' => '<префикс для таксономии>',
    'with_front' => false
]

Ссылки поменялись, но при переходе на страницу выдает 404.

Собственно, нюанс, из-за которого я вообще все это пишу: после изменения кода, нужно сбросить кеш для rewrite правил. Проще всего это сделать пересохранив настройки: Настройки -> Постоянные ссылки (Settings -> Permalinks), сохранить изменения.

Это даже написано в документации, ссылку на которую я скинул вначале. Вот только написано в разделе дополнительной информации, а не разделе параметров. Плохой UI тратит время.